Тема: РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ

Данный материал опубликован на сайте:

http://Gosvoroni.narod.ru

Тема: РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ

ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Цель урока: рассмотреть использование свойств показательной функции при решении нестандартных показательных уравнений.

Ход урока

I. Проверка домашней работы.

II. Повторение теоретического материала.

Фронтальный опрос учащихся.

1.Какая функция называется показательной?

2.Какими свойствами обладает показательная функция?

3.Какова её область определения?

4.Какова область значений?

5.Возрастает или убывает функция:

а)у = ( )^х; б) у = 16()^хв) у = ( )^х; г) у = ()^х;

7. Сформулируйте теорему о корне.

- Повторим методы решения простейших показательных уравнений на конкретных примерах. Как будете решать уравнение?

1) 4^х= 32

2) 3^х+1 + 3^х-1 = 14

3) 4^х-5 · 2^х + 6=0

4) 5^sinx=-

5) 5^sinx =1

III. Рассмотрим решение нестандартных показательных уравнений.

Решить уравнение :

1) 5^х-3^х=16 ( Учитель на доске даёт образец решения уравнения)

Решение .

Подбором определяем , что х=2 – корень данного уравнения.

(5²-3²=16- верно ).

Докажем, что других корней у уравнения нет.

5^х-3^х=16

5^х=3^х+16, так как 3^х≠0, то ( )^х= 1 + .

Функция ƒ(х)= ( )^х – возрастающая на R, а функция φ(х) = 1+- убывающая на R .

Значит , уравнение ()^х= 1 + имеет единственный корень.

Поэтому корней у данного уравнения , кроме х=2 , нет.

Ответ : 2

2) 2^х+3^х+4^х=9^х ( Учитель делает только первый переход к равносильному уравнению, а затем кто-то из учеников решает на доске, комментируя решение.)

Решение :

1-й способ.

2^х+3^х+4^х=9^х

2^х+3^х=9^х-4^х

2^х+3^х=(3^х)²-(2^х)²

2^х+3^х=(3^х-2^х)·(3^х+2^х)

(3^х+2^х)·(1-3^х+2^х)=0, так как 2^х+3^х≠0, то 1+2^х=3^х

()^х + ()^х=1.

В левой части уравнения убывающая функция ( как сумма двух убывающих функций, поэтому , если уравнение имеет корень , то он единственный). Очевидно , что х=1, так как + =1.

Ответ: 1.

2-й способ .

2^х+3^х+4^х=9^х

()^х+ ( )^х+ ( )^х=1 , так как 9^х≠0.

В левой части уравнения убывающая функция ( как сумма трёх убывающих показательных функций). Тогда по теореме о корне – уравнение имеет единственный корень. А поэтому единственный корень имеет и равносильное ему данное уравнение.

2^х+3^х+4^х=9^х . Нетрудно видеть, что х=1-корень

(2¹+3¹+4¹=9¹- верно).

Ответ: 1

3) ·(3·5²^sin^x^-1 - 2·5^sin^x^-1– 0,2)=0

Решение .

Найдём область определения выражения: 6х-х²- 5≥0

х²-6х + 5 ≤0

1≤х≤5.

х€ [ 1;5].

Произведение двух множителей равно нулю тогда о только тогда, когда один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла.

=0 или 3·5²^sin^-1 – 0,2=0

6х-х²-5=0; 5^sinx=t,t>0, тогда

х^2—6х + 5=0; t²-t-=0;

х₁=1; х₂=5 3t²-2t-1=0;

=1+3=4; t_1,2=; t₁=1; t₂=- .

5^sinx=1 или 5^sinx= - ;

Sinx=0 Ø

x=πn, n€Z, но 1≤х≤5, т.е.1≤πn≤5, n=1, x=π ( это третий корень

данного уравнения ).

Ответ: 1; π; 5.

5) 4^х+( х-13) 2^х-2х+22=0

Решение:

Обозначим 2^х=у, тогда 4^х=2^2х=у² и получим квадратное относительно у уравнение.

У² + ( х-13)у – 2х + 22=0

D=( х-13)² – 4(-2х+22)= х²-26х+169+8х-88=х² – 18х + 81 = (х – 9)²

у₁= =2; у₂= =11-х;

Итак, имеем: 2^х=2, х=1.

2^х=11-х.

В левой части уравнения возрастающая функция, а в правой – убывающая.Уравнение не может иметь более одного корня

х=3 ( 2³= 11-3 – верно).

Ответ: 1; 3.

IV. Самостоятельная работа.

Решить уравнения:

1) 12^х + ()^2х = 13^х;

2) ()^х + ( )^х= 18;

За доской приготовлены решения этих уравнений для сличения.

Решение:

1) 13^х≠0, ( )^х+ ()^х =1.

ƒ(х)= ()^х и φ(х) = ()^х – убывающие функции на R, сумма двух убывающих функций есть функция убывающая, поэтому уравнение ()^х+ ()^х = 1 имеет единственный корень х = 2.